BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori bilangan adalah salah satu
cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada BAB yang berjudul
Keterbagian Bilangan. Keterbagian Bilangan merupakan dasar dari berbagai sifat
teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi harus
mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi hal tersebut kami
sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya yang Insya Allah akan
menambah pengetahuan kita.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan
merupakan salah satu sarana untuk meningkatkan kemampuan berpikir setiap orang,
oleh karena itu kesadaran untuk mampu mengetahui dan memahami matematika bagi
siswa sangat diharapkan sudah bertumbuh sejak usia dini. Membentuk pemahaman
yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika diperlukan kecintaan terlebih
dahulu terhadap matematika, oleh karena itu seorang pendidik hendaknya mampu
menciptakan “Fun Learning” di dalam kelas. Fun learning pada matematika dapat
tercipta apabila seorang guru mampu mengajarkan konsep matematika menggunakan
metode dan tehnik-tehnik yang bervariatif sehingga tidak menoton dan
membosankan bagi anak didik.
1.2 Tujuan Penulisan
Adapun
tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahu dan memahami tentang
Keterbagian dan FPB !
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Pengertian Keterbagian
Keterbagian (divisibility) merupakan
dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan
banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis
tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang
perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut
pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan
lain.
A. Sifat-Sifat
Keterbagian
Teorema
1
Jika
a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan b│c maka a│c.
Bukti
a│b
dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian
sehingga c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn =
p anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.
Teorema 2
Jika
a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk
suatu m,n anggota bilangan bulat.
Bukti
c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga a =cx dan
b =cy
Sehingga,
am = c(xm) dan bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
am
+ bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).
Teorema 3
(Buchmann, 2002: 3)
a.
Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b.
Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a.
Jika a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat m ≠ 0
sedemikian
sehingga b = am.
Karena
b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b.
Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0
maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika
a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a|
sehingga |a| = |b|.
B. Contoh
Keterbagian
Untuk menguji suatu bilangan bulat
dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain
kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode pembagian cara panjang.
Meskipun demikian, kita akan menggungkap cara lain untuk menguji keterbagian
beberapa bilangan bulat. Sebagai contoh, kita akan menentukan apakah 1734 habis
dibagi oleh 17. Untuk keperluan ini, perhatikan langkah-langkah berikut ini:
1734
= 1700 + 34
Karena 171700 dan 1734, menurut sifat
keterbagian, 17(1700 + 34), atau 171734. Dengan cara yang sama, kita dapat
menentukan bahwa 17┼1735.
Untuk menentukan apakah suatu bilangan
bulat n dapat dibagi (habis dibagi) oleh bilangan bulat lain d, kita
pertimbangkan bahwa n sebagai jumlah atau selisih dua bilangan-bilangan bulat
di mana d paling sedikit dapat membagi satu dari bilangan-bilangan bulat itu.
Sebagai contoh, tentukan apakah 358 habis dibagi oleh 2. Jelas sekali bahwa 358
dapat dibagi oleh 2 karena 358 adalah bilangan genap. Hal ini karena digit
satuannya 2. Selanjutnya perhatikan yang berikut ini:
358
= 350 + 8 = 35(10) + 8
Kita mengetahui bahwa 210 sehingga
235(10), dan 28 yang mengakibatkan 2(35(10) + 8). Karena 2 membagi sebarang
bilangan berkelipatan 10, untuk menentukan apakah suatu bilangan dapat dibagi
oleh 2 cukup dengan memperhatikan apakah digit satuannya dapat dibagi oleh 2.
Jika digit satuannya tidak dapat dibagi oleh 2 maka bilangan itu tidak dapat
dibagi oleh 2.
2.2.
Dalil-dalil Keterbagian
Keterbagian
Dalam Bilangan Bulat
Sifat-sifat
yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven,
1999:4). Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa
ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit,
perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena
pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam
Aljabar Modern dan Struktur Aljabar (Muhsetyo, 1994:18)
Suatu bilangan bulat x dikatakan
habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat
p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x
dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y
adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x
dinotasikan dengan y ┼ x.
2.3. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor Persekutuan Terbesar atau yang familiar
disebut sebagai FPB dari dua bilangan merupakan bilangan
bulat positif
terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Terdapat beberapa metode
untuk mencari FPB, yaitu :
1. Menggunakan
Faktor Persekutuan
Faktor persekutuan merupakan
faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih dan FPB itu sendiri adalah nilai
paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu.
Contoh:
carilah FPB dari 4,
8 dan 12?
Penyelesaian :
Faktor
dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Faktor
persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4
2. Menggunakan
Faktorisasi Prima
Pada cara ini kita ambil
bilangan faktor yang sama, selanjutnya ambil yang terkecil dari 2 atau lebih
bilangan.
Contoh:
a. carilah FPB dari
4, 8 dan 12?
Penyelesaian :
buatlah pohon
faktornya
sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2,
dan yang terkecil adalah 2² = 4
Maka FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4
Maka FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4
b.Tentukan FPB dari
bilangan 20 dan 30
·
2 dan 5 adalah bilangan prima yang
sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
·
Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
·
Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
·
Maka FPB = 2 X 5 = 10
c.Tentukan FPB dari
bilangan 48 dan 60
2 dan 3 merupakan
bilangan primayang sama terdapat faktorisasi prima dari kedua pohon faktor,
dimana pangkat terendah dari 2 adalah 2 dan pangkat terendah dari 3 adalah 1
sehingga FPB dari kedua bilangan tersebut yaitu 2².3=12
3. Menggunakan
Tabel
Cara tabel ini yaitu
dengan membagi bilangan yang dicari menggunakan bilangan prima.
contoh :
a. Tentukan FPB dari
bilangan 21 dan 35
21
|
35
|
|
3
|
7
|
5
|
5
|
7
|
1
|
7
|
1
|
1
|
FPB = 3
b. Tentukan FPB
dari bilangan 36 dan 54
36
|
54
|
|
2
|
18
|
27
|
2
|
9
|
27
|
3
|
3
|
9
|
3
|
1
|
3
|
3
|
1
|
1
|
FPB = 2 X 3 X 3= 2 X 32 = 18
Untuk contoh
a karena hanya bilangan 3 saja yang bisa membagi habis 21 dan 35 maka FPB = 3
Untuk
contoh b hanya yang diberi huruf tebal yang bisa bagi habis bilangan di atasnya
saja
c. Tentukan FPB dari
bilangan 75, 105 dan 120
75
|
105
|
120
|
|
2
|
75
|
105
|
60
|
2
|
75
|
105
|
30
|
2
|
75
|
105
|
15
|
3
|
25
|
35
|
5
|
5
|
5
|
7
|
1
|
5
|
1
|
7
|
1
|
7
|
1
|
1
|
1
|
FPB = 3 X 5 = 15
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian
telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven, 1999:4). Pengembangan
selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya
yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk
mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian
maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur
Aljabar (Muhsetyo, 1994:18)
Suatu
bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika
terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini
dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan
y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x,
atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan
y ┼ x.
FPB adalah singkatan dari Faktor
Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau angka-angka pembagi yang paling
besar dari suatu bilangan. Untuk menentukan factor persekutuan terbesar dari
dua bilangan a dan b, tentukan dulu factor-faktor dari a dan b, kemudian
identifikasi dan kumpulkan factor yang sama, selanjutnya pilih yang terbesar.
Factor persekutuan terbesar dari a dan
b ditulis dengan notasi FPB (a,b) atau (a,b).
Kelipatan Persekutuan Terkecil, yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang
nilainya paling kecil.
Kelipatan Persekutuan Terkecil, yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang
nilainya paling kecil.
DAFTAR PUSTAKA
http://liaazalealova.blogspot.co.id/2012/09/keterbagian-sifat-sifatnya-serta.html
No comments:
Post a Comment